Cdtrjyty

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей (нейтральным элементом относительно умножения) и без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры |

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел Z{displaystyle mathbb {Z} }.


• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.


• 
  Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо Z[x]{displaystyle mathbb {Z} [x]} многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо R[x,y]{displaystyle mathbb {R} [x,y]} многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.


• Множество действительных чисел вида a+b2{displaystyle a+b{sqrt {2}}} есть подкольцо поля R{displaystyle mathbb {R} }, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a+bi{displaystyle a+bi}, где a{displaystyle a} и b{displaystyle b} целые (множество гауссовых целых чисел).


• Пусть U{displaystyle U} — связное открытое подмножество комплексной плоскости C{displaystyle mathbb {C} }. Тогда кольцо H(U){displaystyle H(U)} всех голоморфных функций f:U→C{displaystyle f:Urightarrow mathbb {C} } будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.


• Если K{displaystyle K} — коммутативное кольцо, а I{displaystyle I} — идеал в K{displaystyle K}, то факторкольцо K/I{displaystyle K/I} целостное тогда и только тогда, когда I{displaystyle I} — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы |

Пусть a{displaystyle a} и b{displaystyle b} — элементы целостного кольца K{displaystyle K}. Говорят, что «a{displaystyle a} делит b{displaystyle b}» или «a{displaystyle a} — делитель b{displaystyle b}» (и пишут a∣b{displaystyle amid b}), тогда и только тогда, когда существует элемент x∈K{displaystyle xin K} такой, что ax=b{displaystyle ax=b}.

Делимость транзитивна: если a{displaystyle a} делит b{displaystyle b} и b{displaystyle b} делит c{displaystyle c}, то a{displaystyle a} делит c{displaystyle c}. Если a{displaystyle a} делит b{displaystyle b} и c{displaystyle c}, то a{displaystyle a} делит также их сумму b+c{displaystyle b+c} и разность b−c{displaystyle b-c}.

Для кольца K{displaystyle K} с единицей делители единицы, то есть элементы a∈K{displaystyle ain K}, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в K{displaystyle K} имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a{displaystyle a} и b{displaystyle b} называются ассоциированными, если a{displaystyle a} делит b{displaystyle b} и b{displaystyle b} делит a{displaystyle a}. a{displaystyle a} и b{displaystyle b} ассоциированны тогда и только тогда, когда
a=be{displaystyle a=be}, где e{displaystyle e} — обратимый элемент.

Ненулевой элемент q{displaystyle q}, не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент p{displaystyle p} называется простым, если из того, что p∣ab{displaystyle pmid ab}, следует p∣a{displaystyle pmid a} или p∣b{displaystyle pmid b}. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце Z{displaystyle mathbb {Z} }, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p{displaystyle p} — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p){displaystyle (p)} будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства |

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
  
  


• 
  Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.


• 
  Тензорное произведение^[en] целостных колец тоже будет целостным кольцом.


• 
  Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения |

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности.
Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы.
Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература |

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.