Cdtrjyty

Простой идеал в теории колец — такой идеал $I$ кольца $A$ , факторкольцо ${displaystyle A/I}$ по которому является областью целостности. Равносильная формулировка: если ${displaystyle Ineq A}$ и из ${displaystyle abin I}$ следует $ain I$ или ${displaystyle bin I}$ .

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца $A$ по простому идеалу $I$ .

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца ${mathrm {Spec}}A$ . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства |

Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть ${displaystyle abin I}$ , ${displaystyle anotin I}$ . Рассмотрим идеал ${displaystyle J=I+aA}$ . Поскольку $I$ максимален, то либо ${displaystyle J=I}$ (что невозможно, поскольку ${displaystyle anotin I}$ ), либо ${displaystyle J=A}$ . Но тогда ${displaystyle 1in I+aA}$ и значит ${displaystyle bin bI+baA=I}$ .

Идеал $I$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.

Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$ , не пересекающийся с мультипликативной системой $S_{0}$ . Тогда существует простой идеал $I_0$ , содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_{0}$ .^{[источник не указан 2013 дней]}

Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$ , совпадает с радикалом идеала $I$ . Радикал идеала $I$ — это множество ${displaystyle {sqrt {I}}={fin A:,exists nin mathbb {N} ,,f^{n}in I}}$ . Оно тоже является идеалом кольца $A$ .

Доказательство

Пусть $J$ — простой идеал, содержащий $I$ . Если элемент $f$ принадлежит радикалу ${sqrt {I}}$ , значит некоторая его степень принадлежит идеалу ${displaystyle Isubset J}$ , значит $f$ не может принадлежать дополнению к $J$ , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит $f$ , то содержит и все его степени). Значит $f$ необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$ .
Обратно: пусть $f$ не принадлежит радикалу ${sqrt {I}}$ . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с $I$ . По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий $I$ и не содержащий ни одну из степеней элемента $f$ . Значит $f$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$ .

Примеры |

В кольце целых чисел ${displaystyle A=mathbb {Z} }$ каждый простой идеал имеет вид ${displaystyle pA}$ , где $p$ — простое число.

Доказательство

Пусть ${displaystyle ain I}$ — наименьшее положительное число в $I$ . Возьмем произвольное ${displaystyle bin I}$ и поделим с остатком на $a$ : ${displaystyle qquad b=a*g+r}$ , где ${displaystyle 0leq r<a}$ . В силу выбора $a$ , имеем $r=0$ , т.е все элементы $I$ делятся на $a$ . ${displaystyle I=amathbb {Z} }$ .

Положим, теперь, ${displaystyle I=pA}$ . Поскольку из ${displaystyle abin pA}$ должно следовать ${displaystyle ain pA}$ или ${displaystyle bin pA}$ , то $p$ — простое число.

В кольце многочленов от одной переменной ${displaystyle A=mathbb {R} [x]}$ каждый простой идеал имеет вид ${displaystyle pA}$ , где $p$ — неприводимый над $mathbb {R}$ многочлен.

В кольце многочленов ${displaystyle A=mathbb {Q} [x,y]}$ множество ${displaystyle I=xA+yA}$ является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент ${displaystyle ain mathbb {Q} [x,y]}$ можно представить в виде ${displaystyle a=a_{0}+a_{1}x+a_{2}y}$ , где ${displaystyle a_{1},a_{2}in mathbb {Q} [x,y]}$ — некоторые многочлены, ${displaystyle a_{0}in mathbb {Q} }$ определено однозначно элементом $a$ . Условие ${displaystyle abin I}$ равносильно тогда условию ${displaystyle a_{0}b_{0}=0}$ , откуда следует либо $a_{0}=0$ , либо $b_{0}=0$ .