Подкольцо кольца K{displaystyle K}
— это пара (R,i){displaystyle (R,i)}
, где R{displaystyle R}
— кольцо, а i:R↪K{displaystyle i:Rhookrightarrow K}
— мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.
В классическом определении подкольцо кольца (K,+,∗){displaystyle (K,+,*)}
рассматривается как подмножество R⊂K{displaystyle Rsubset K}
, замкнутое относительно операций +{displaystyle +}
и ∗{displaystyle *}
из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.
В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing}
подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}}
: морфизмы (гомоморфизмы) f:R→K{displaystyle f:Rto K}
в этой категории должны отображать единицу кольца R{displaystyle R} в единицу кольца K{displaystyle K} (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо R{displaystyle R} кольца K{displaystyle K} также обязано содержать единицу: 1K∈R{displaystyle 1_{K}in R}
.
Категория Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing} устроена гораздо лучше, чем Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}}. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing}, если не оговорено обратное.
- Примеры
- Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing}.
- В Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} идеал является подкольцом только тогда, когда содержит 1{displaystyle 1}
, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} собственные идеалы не являются подкольцами.
- В Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing} подкольцами в Z{displaystyle mathbb {Z} }
являются всевозможные главные идеалы (n)=nZ{displaystyle (n)=nmathbb {Z} }
. В Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} Z{displaystyle mathbb {Z} } не имеет собственных подколец.
- Кольцо целых чисел Z{displaystyle mathbb {Z} } является подкольцом поля вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} }
и подкольцом кольца многочленов Z[X]{displaystyle mathbb {Z} [X]}![{displaystyle mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
.
Литература |
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
- М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
См. также |
