Cdtrjyty

Подкольцо кольца K{displaystyle K} — это пара (R,i){displaystyle (R,i)}, где R{displaystyle R} — кольцо, а i:R↪K{displaystyle i:Rhookrightarrow K} — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца (K,+,∗){displaystyle (K,+,*)} рассматривается как подмножество R⊂K{displaystyle Rsubset K}, замкнутое относительно операций +{displaystyle +} и ∗{displaystyle *} из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.

В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing} подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}}: морфизмы (гомоморфизмы) f:R→K{displaystyle f:Rto K} в этой категории должны отображать единицу кольца R{displaystyle R} в единицу кольца K{displaystyle K} (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо R{displaystyle R} кольца K{displaystyle K} также обязано содержать единицу: 1K∈R{displaystyle 1_{K}in R}.

Категория Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing} устроена гораздо лучше, чем Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}}. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing}, если не оговорено обратное.

Примеры

1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing}.


2. В Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} идеал является подкольцом только тогда, когда содержит 1{displaystyle 1}, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} собственные идеалы не являются подкольцами.


3. В Ring{displaystyle {mathcal {R}}ing} подкольцами в Z{displaystyle mathbb {Z} } являются всевозможные главные идеалы (n)=nZ{displaystyle (n)=nmathbb {Z} }. В Ring1{displaystyle {mathcal {R}}ing_{1}} Z{displaystyle mathbb {Z} } не имеет собственных подколец.


4. Кольцо целых чисел Z{displaystyle mathbb {Z} } является подкольцом поля вещественных чисел R{displaystyle mathbb {R} } и подкольцом кольца многочленов Z[X]{displaystyle mathbb {Z} [X]}.

Литература |

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.


• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также |

• Подгруппа