Cdtrjyty

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, их симметрическая разность есть объединение элементов A{displaystyle A}, не входящих в B{displaystyle B}, с элементами B{displaystyle B}, не входящими в A{displaystyle A}. На письме для обозначения симметрической разности множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} используется обозначение A△B{displaystyle Abigtriangleup B}, реже используется обозначение A−˙B{displaystyle A,{dot {-}},B}.

Определение |

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• 
  симметрическая разность двух заданных множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} — это такое множество A△B{displaystyle Abigtriangleup B}, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

A△B=(A∖B)∪(B∖A).{displaystyle Abigtriangleup B=left(Asetminus Bright)cup left(Bsetminus Aright).}

• 
  симметрическая разность двух заданных множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} — это такое множество A△B{displaystyle Abigtriangleup B}, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

A△B=(A∪B)∖(A∩B).{displaystyle Abigtriangleup B=left(Acup Bright)setminus left(Acap Bright).}

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства |

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;


• Симметрическая разность коммутативна:

A△B=B△A;{displaystyle Abigtriangleup B=B,triangle ,A;}

• Симметрическая разность ассоциативна:

(A△B)△C=A△(B△C);{displaystyle left(Abigtriangleup Bright),triangle ,C=Abigtriangleup left(B,triangle ,Cright);}

• 
  Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);{displaystyle Acap left(Bbigtriangleup Cright)=left(Acap Bright)bigtriangleup left(Acap Cright);}

• 
  Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

A△∅=A;{displaystyle Abigtriangleup varnothing =A;}

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

A△A=∅;{displaystyle Abigtriangleup A=varnothing ;}

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;


• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем Z2.{displaystyle mathbb {Z} _{2}.}
  


• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.


• (A1∩A2)△(B1∩B2)⊂(A1△B1)∪(A2△B2);{displaystyle left(A_{1}cap A_{2}right)bigtriangleup left(B_{1}cap B_{2}right)subset left(A_{1}bigtriangleup B_{1}right)cup left(A_{2}bigtriangleup B_{2}right);}


• (A1∪A2)△(B1∪B2)⊂(A1△B1)∪(A2△B2);{displaystyle left(A_{1}cup A_{2}right)bigtriangleup left(B_{1}cup B_{2}right)subset left(A_{1}bigtriangleup B_{1}right)cup left(A_{2}bigtriangleup B_{2}right);}


• (A1∖A2)△(B1∖B2)⊂(A1△B1)∪(A2△B2);{displaystyle left(A_{1}setminus A_{2}right)bigtriangleup left(B_{1}setminus B_{2}right)subset left(A_{1}bigtriangleup B_{1}right)cup left(A_{2}bigtriangleup B_{2}right);}

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

A∪B=A△B△(A∩B),{displaystyle Acup B=Abigtriangleup Bbigtriangleup left(Acap Bright),}

A∖B=A△(A∩B).{displaystyle Asetminus B=Abigtriangleup left(Acap Bright).}

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

(A△B)∪(A∩B)=A∪B{displaystyle (Abigtriangleup B)cup (Acap B)=Acup B}

Пример |

Пусть

A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7}.{displaystyle A={1,2,3,4,5},quad B={3,4,5,6,7}.}

Тогда

A△B={1,2,6,7}.{displaystyle A,triangle ,B={1,2,6,7}.}

См. также |

• Операции над множествами

Литература |

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.