Абелева группа
А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа (G,∗){displaystyle (G,;*)}
Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком +{displaystyle +}
Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.
Содержание
1 Примеры
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Конечные абелевы группы
5 Вариации и обобщения
6 См. также
7 Примечания
8 Литература
Примеры |
- Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
- Любая циклическая группа G=⟨a⟩{displaystyle G=langle arangle }
абелева. Действительно, для любых x=an{displaystyle x=a^{n}}
и y=am{displaystyle y=a^{m}}
верно, что
xy=aman=am+n=anam=yx{displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}.
- В частности, множество Z{displaystyle mathbb {Z} }
целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов Z/nZ.{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} ,.}
- Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле R{displaystyle mathbb {R} }
вещественных чисел с операцией сложения чисел.
- Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.
Связанные определения |
- По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем Q{displaystyle mathbb {Q} }
рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.
Свойства |
- Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
- Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть n{displaystyle n}
— натуральное число, а x{displaystyle x}
— элемент коммутативной группы G{displaystyle G}
с операцией, обозначаемой +, тогда nx{displaystyle nx}
можно определить как x+x+…+x{displaystyle x+x+ldots +x}
(n{displaystyle n}
.
- Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов Z{displaystyle mathbb {Z} }
- Утверждения и теоремы, верные для абелевых групп (то есть модулей над областью главных идеалов Z{displaystyle mathbb {Z} }
- Множество гомоморфизмов Hom(G,H){displaystyle operatorname {Hom} (G,;H)}
всех групповых гомоморфизмов из G{displaystyle G}
само является абелевой группой. Действительно, пусть f,g:G→H{displaystyle f,;g:Gto H}
— два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f+g{displaystyle f+g}
, заданная как (f+g)(x)=f(x)+g(x){displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}
, тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H{displaystyle H}
- Понятие абелевости тесно связано с понятием центра Z(G){displaystyle Z(G)}
группы G{displaystyle G}
Конечные абелевы группы |
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.
Zmn{displaystyle mathbb {Z} _{mn}}
Следовательно, можно записать абелеву группу G{displaystyle G}
- Zk1⊕…⊕Zku{displaystyle mathbb {Z} _{k_{1}}oplus ldots oplus mathbb {Z} _{k_{u}}}
двумя различными способами:
- Где числа k1,…,ku{displaystyle k_{1},;ldots ,;k_{u}}
степени простых
- Где k1{displaystyle k_{1}}
делит k2{displaystyle k_{2}}
, которое делит k3{displaystyle k_{3}}
, и так далее до ku{displaystyle k_{u}}
.
Например, Z/15Z=Z15{displaystyle mathbb {Z} /15mathbb {Z} =mathbb {Z} _{15}}
Вариации и обобщения |
Дифференциальной группой называется абелева группа C{displaystyle mathbf {C} }, в которой задан такой эндоморфизм d:C→C{displaystyle dcolon mathbf {C} to mathbf {C} }
, что d2=0{displaystyle d^{2}=0}
. Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра kerd{displaystyle ker ,d}
— циклами, элементы образа Imd{displaystyle mathrm {Im} ,d}
— границами.
Кольцо — абелева группа на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.
См. также |
- Алгебраическая система
Примечания |
↑ Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов
Литература |
Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
